円上に並べたビリヤードの玉で隣接する玉を足し合わせて1〜21までの数字を作る問題

1は1がないとできないので1は必須
2は2がないとできないので2も必須
3は1と2があればできる
4は1と3または4でできるので、3と4どちらか1つは必須

2進法の問題だと考えると、1, 2, 4, 8を組み合わせれば1〜15は必ず作れるが、隣接した玉の条件があるのでそう単純にはいかない。

1, 2, 3 or 4の3個が必須で残りの2つを考える
1, 2, 3 or 4は合計6 or 7なので、合計21にするには残り2個で14 or 15になる。
ビリヤードはルールによるが1〜15までの数字玉があるはず。
2進法から考えると、1, 2, 3 or 4の次は5〜8のいずれか。
考えられる組み合わせは、5〜8とその和が14 or 15になるペア8つと、5〜8と14 or 15のペア8つの合計16で、それぞれ(1, 2, 3), (1, 2, 4)の組み合わせがあるので32通り。
1, 2, 3, 5, 14だと12, 13が作れないのでNG。同様に(5, 15), (6, 15)もNG。(1, 2, 3, 6, 14), (1, 2, 3, 7, 15)もNG。これで残り24通り。

(1, 2, 3, x, y)の並びだとすると、x or yに4が必須になるのでNG。
同様に、1と3が隣接することは必須条件。
(1, 3, 2, x, y)の並びだとすると、7を作るために(1, 3, 2, 5, 10), (1, 3, 2, 9, 6)となり、どちらも8を作れないのでNG。
(1, 2, x, y, 3)→(1, 2, 5, 10, 3)→9が作れない
(1, x, 2, y, 3)→(1, 5, 2, 10, 3)→8が作れない
(1, x, y, 2, 3)→(1, 10, 5, 2, 3), (1, 6, 9, 2, 3)→8が作れない
次は(1, 2, 4, x, y)の組み合わせ。3を作るために1と2の隣接が必要。
(1, 2, 4, x, y)→(1, 2, 4, 5, 9)は8NG, (1, 2, 4, 9, 5)は10NG。
(1, 2, x, 4, y)→(1, 2, 5, 4, 9)は6NG, (1, 2, 9, 4, 5)は7NG。
(1, 2, x, y, 4)→(1, 2, 6, 10, 4)は11NG, (1, 2, 8, 6, 4)は9NG。
(1, 4, x, y, 2)
(1, x, 4, y, 2)
(1, x, y, 4, 2)

(1, 2, 4, 6, 8)の組み合わせがありそう。
違う、数珠順列だから(1, 2, 4, x, y)と(1, x, y, 4, 2)は同じなので、残りの組み合わせも同じなのか。破綻した？

あとで考え直そう……。

(1, 2, 3, x, y)または(1, 2, 4, x, y)で、1と3、1と2が隣接する条件つきの数珠順列。ここまでは多分OK。

(1, 3, 2, x, y)の場合、7を作るためにx=5, y=6, x=7, y=7のいずれかが必要。x=5はy=7 or 8になって21を作れなくなる。y=6はx=8になって21を作れない。x=7はy=8で10を作れない。y=7はx=9で10を作れない。
(1, 3, x, 2, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=6になって21を作れない。y=5はx=8になって21を作れない。
(1, 3, x, y, 2)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=7になって21を作れない。y=5はx=9になって10を作れない。

(1, 2, 4, x, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=8で10を作れない。y=5はx=9で10を作れない。
(1, 2, x, 4, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=6で21を作れない。y=5はx=7で21を作れない。
(1, 2, x, y, 4)の場合、6を作るためにx=6 or y=6が必要。x=6はy=10で11を作れない。y=6はy=8で9を作れない。

やっぱり破綻した。