笑わない数学者  途中メモ 

円上に並べたビリヤードの玉で隣接する玉を足し合わせて1〜21までの数字を作る問題

1は1がないとできないので1は必須
2は2がないとできないので2も必須
3は1と2があればできる
4は1と3または4でできるので、3と4どちらか1つは必須

2進法の問題だと考えると、1, 2, 4, 8を組み合わせれば1〜15は必ず作れるが、隣接した玉の条件があるのでそう単純にはいかない。

1, 2, 3 or 4の3個が必須で残りの2つを考える
1, 2, 3 or 4は合計6 or 7なので、合計21にするには残り2個で14 or 15になる。
ビリヤードはルールによるが1〜15までの数字玉があるはず。
2進法から考えると、1, 2, 3 or 4の次は5〜8のいずれか。
考えられる組み合わせは、5〜8とその和が14 or 15になるペア8つと、5〜8と14 or 15のペア8つの合計16で、それぞれ(1, 2, 3), (1, 2, 4)の組み合わせがあるので32通り。
1, 2, 3, 5, 14だと12, 13が作れないのでNG。同様に(5, 15), (6, 15)もNG。(1, 2, 3, 6, 14), (1, 2, 3, 7, 15)もNG。これで残り24通り。

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メモ続き 

(1, 2, 3, x, y)の並びだとすると、x or yに4が必須になるのでNG。
同様に、1と3が隣接することは必須条件。
(1, 3, 2, x, y)の並びだとすると、7を作るために(1, 3, 2, 5, 10), (1, 3, 2, 9, 6)となり、どちらも8を作れないのでNG。
(1, 2, x, y, 3)→(1, 2, 5, 10, 3)→9が作れない
(1, x, 2, y, 3)→(1, 5, 2, 10, 3)→8が作れない
(1, x, y, 2, 3)→(1, 10, 5, 2, 3), (1, 6, 9, 2, 3)→8が作れない
次は(1, 2, 4, x, y)の組み合わせ。3を作るために1と2の隣接が必要。
(1, 2, 4, x, y)→(1, 2, 4, 5, 9)は8NG, (1, 2, 4, 9, 5)は10NG。
(1, 2, x, 4, y)→(1, 2, 5, 4, 9)は6NG, (1, 2, 9, 4, 5)は7NG。
(1, 2, x, y, 4)→(1, 2, 6, 10, 4)は11NG, (1, 2, 8, 6, 4)は9NG。
(1, 4, x, y, 2)
(1, x, 4, y, 2)
(1, x, y, 4, 2)

メモ続き 

(1, 2, 4, 6, 8)の組み合わせがありそう。
違う、数珠順列だから(1, 2, 4, x, y)と(1, x, y, 4, 2)は同じなので、残りの組み合わせも同じなのか。破綻した?

続き 

(1, 2, 3, x, y)または(1, 2, 4, x, y)で、1と3、1と2が隣接する条件つきの数珠順列。ここまでは多分OK。

(1, 3, 2, x, y)の場合、7を作るためにx=5, y=6, x=7, y=7のいずれかが必要。x=5はy=7 or 8になって21を作れなくなる。y=6はx=8になって21を作れない。x=7はy=8で10を作れない。y=7はx=9で10を作れない。
(1, 3, x, 2, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=6になって21を作れない。y=5はx=8になって21を作れない。
(1, 3, x, y, 2)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=7になって21を作れない。y=5はx=9になって10を作れない。

続き 

(1, 2, 4, x, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=8で10を作れない。y=5はx=9で10を作れない。
(1, 2, x, 4, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=6で21を作れない。y=5はx=7で21を作れない。
(1, 2, x, y, 4)の場合、6を作るためにx=6 or y=6が必要。x=6はy=10で11を作れない。y=6はy=8で9を作れない。

やっぱり破綻した。

続き 

そもそもできるのか?

5つの円状に並べた玉から任意の連続した玉を選ぶ選び方は、全部選ぶのも含めて21通り。
和で1〜21を作るということは、無駄なく組み合わせる必要があるということ。
つまり1, 2, 3という組み合わせの場合、1と2は必ず離れている必要がある。

全部の和はちょうど21になる。1を取り除けば20になるので、同様にして実質1〜10を作れたらOK。
となると、
(1, 2, 3, 4, 11), (1, 2, 3, 5, 10), (1, 2, 3, 6, 9), (1, 2, 3, 7, 8), (1, 2, 4, 5, 9), (1, 2, 4, 6, 8)
のどれか。
(1, 2, 3, 4, 11)は1と2、1と3は隣接しないので、1と4が隣接するが、かならず2と3も隣接するのでNG。
(1, 2, 3, 5, 10)は1と2、2と3が隣接しない。
(5, 2, 10, 3, 1)これだ。できた。
検討してた組み合わせだけど、8作れるの見落としてた。

補足 

他に解がないことを証明したいけど、それはもういいかな……

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