笑わない数学者 途中メモ
円上に並べたビリヤードの玉で隣接する玉を足し合わせて1〜21までの数字を作る問題
1は1がないとできないので1は必須
2は2がないとできないので2も必須
3は1と2があればできる
4は1と3または4でできるので、3と4どちらか1つは必須
2進法の問題だと考えると、1, 2, 4, 8を組み合わせれば1〜15は必ず作れるが、隣接した玉の条件があるのでそう単純にはいかない。
1, 2, 3 or 4の3個が必須で残りの2つを考える
1, 2, 3 or 4は合計6 or 7なので、合計21にするには残り2個で14 or 15になる。
ビリヤードはルールによるが1〜15までの数字玉があるはず。
2進法から考えると、1, 2, 3 or 4の次は5〜8のいずれか。
考えられる組み合わせは、5〜8とその和が14 or 15になるペア8つと、5〜8と14 or 15のペア8つの合計16で、それぞれ(1, 2, 3), (1, 2, 4)の組み合わせがあるので32通り。
1, 2, 3, 5, 14だと12, 13が作れないのでNG。同様に(5, 15), (6, 15)もNG。(1, 2, 3, 6, 14), (1, 2, 3, 7, 15)もNG。これで残り24通り。
メモ続き
(1, 2, 3, x, y)の並びだとすると、x or yに4が必須になるのでNG。
同様に、1と3が隣接することは必須条件。
(1, 3, 2, x, y)の並びだとすると、7を作るために(1, 3, 2, 5, 10), (1, 3, 2, 9, 6)となり、どちらも8を作れないのでNG。
(1, 2, x, y, 3)→(1, 2, 5, 10, 3)→9が作れない
(1, x, 2, y, 3)→(1, 5, 2, 10, 3)→8が作れない
(1, x, y, 2, 3)→(1, 10, 5, 2, 3), (1, 6, 9, 2, 3)→8が作れない
次は(1, 2, 4, x, y)の組み合わせ。3を作るために1と2の隣接が必要。
(1, 2, 4, x, y)→(1, 2, 4, 5, 9)は8NG, (1, 2, 4, 9, 5)は10NG。
(1, 2, x, 4, y)→(1, 2, 5, 4, 9)は6NG, (1, 2, 9, 4, 5)は7NG。
(1, 2, x, y, 4)→(1, 2, 6, 10, 4)は11NG, (1, 2, 8, 6, 4)は9NG。
(1, 4, x, y, 2)
(1, x, 4, y, 2)
(1, x, y, 4, 2)
メモ続き
(1, 2, 4, 6, 8)の組み合わせがありそう。
違う、数珠順列だから(1, 2, 4, x, y)と(1, x, y, 4, 2)は同じなので、残りの組み合わせも同じなのか。破綻した？
あとで考え直そう……。
続き
(1, 2, 3, x, y)または(1, 2, 4, x, y)で、1と3、1と2が隣接する条件つきの数珠順列。ここまでは多分OK。
(1, 3, 2, x, y)の場合、7を作るためにx=5, y=6, x=7, y=7のいずれかが必要。x=5はy=7 or 8になって21を作れなくなる。y=6はx=8になって21を作れない。x=7はy=8で10を作れない。y=7はx=9で10を作れない。
(1, 3, x, 2, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=6になって21を作れない。y=5はx=8になって21を作れない。
(1, 3, x, y, 2)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=7になって21を作れない。y=5はx=9になって10を作れない。
続き
(1, 2, 4, x, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=8で10を作れない。y=5はx=9で10を作れない。
(1, 2, x, 4, y)の場合、5を作るためにx=5 or y=5が必要。x=5はy=6で21を作れない。y=5はx=7で21を作れない。
(1, 2, x, y, 4)の場合、6を作るためにx=6 or y=6が必要。x=6はy=10で11を作れない。y=6はy=8で9を作れない。
やっぱり破綻した。
補足
他に解がないことを証明したいけど、それはもういいかな……
続き
そもそもできるのか？
5つの円状に並べた玉から任意の連続した玉を選ぶ選び方は、全部選ぶのも含めて21通り。
和で1〜21を作るということは、無駄なく組み合わせる必要があるということ。
つまり1, 2, 3という組み合わせの場合、1と2は必ず離れている必要がある。
全部の和はちょうど21になる。1を取り除けば20になるので、同様にして実質1〜10を作れたらOK。
となると、
(1, 2, 3, 4, 11), (1, 2, 3, 5, 10), (1, 2, 3, 6, 9), (1, 2, 3, 7, 8), (1, 2, 4, 5, 9), (1, 2, 4, 6, 8)
のどれか。
(1, 2, 3, 4, 11)は1と2、1と3は隣接しないので、1と4が隣接するが、かならず2と3も隣接するのでNG。
(1, 2, 3, 5, 10)は1と2、2と3が隣接しない。
(5, 2, 10, 3, 1)これだ。できた。
検討してた組み合わせだけど、8作れるの見落としてた。