全文検索対応のMastodonサーバの場合、基本的にはそのままAPIに文字列を渡してあげるだけでいいと思いますが、

クライアントでは検索語に +つき、-つき、" " で囲うなどの操作をアシストする機能がついているといいと思います。

基本的にスペース区切りのOR検索ですが、 +つけてAND検索、-で除外、" "で囲うとフレーズ検索（そのままの文字列の並びを検索する）ようになります。

とくに、日本語検索においては（サーバ側拡張でうまく日本語の形態素解析・辞書を整備していない限り）フレーズ検索の方が適切に候補が出せたりするので、スマホでやりにくい " " で囲うという操作ができるボタンなどを用意しておくと良いかと思います。

検索のユーザー向けドキュメントはここにあります。
https://docs.joinmastodon.org/user/network/#search