@nagi_base@picosize.misskey.moe まず、Mastodonの検索欄に入力して出てきた時点で、Mastodon側にその投稿がコピーされます。
Mastodoでそれをブーストした場合、Mastodon側からブーストのアクティビティが、元の投稿をした人に送られます。Announceですね。
このAnnounceを受け取った元サーバは、ブーストされた! ということを知って、ユーザーに通知します。
なお、その他のサーバでは、Announceを受け取ったら、元投稿のサーバに投稿を取りに行きます。既に手元にあったらそのまま使います。