Mastodonではhealth_checkというgemを使って、/health というエンドポイントを公開しています。（ちなみにここだけhttpでもアクセスできるようになってます）

問題がなければ200でsuccessという文字列を返してきます。

繋がらなければそもそも落ちてますし、つながる場合でも、内部的にデータベースの読み出し、マイグレーション状態（忘れてるとダメ）、キャッシュの書き込みをチェックします。