完備性の証明に当たって、まず有理数コーシー列はその同値類のラベルとなる実数に収束することが示す。これは有理数コーシー列の定義を読み替えるだけ
実数コーシー列がある実数に収束するのを示すとき、実数列の各実数に収束する有理数列を用意し、その誤差が1/nになるような実数を並べて実数列を作る。この実数列に対応する(すなわち収束する)実数が元の実数列の収束する実数