お気持ちだけまとめとこ

有理数コーシー列の集合で、2要素間のコーシー列の条件みたいなもので同値類になって、その商集合を実数とする
実数の和、積は数列要素(有理数）の和積で一意に定まりこれによって和と積が定義でき、体を構成する
極限での正負で実数の正負を定義し、差の正負で大小関係を定義する。
実数に関しても有理数と同様な収束、コーシー列の定義ができ、実数列の任意のコーシー列は収束列であるという完備性が成り立つ