Switchを常にキャプチャーボードに接続しているせいで、キャプボに電源が供給されていないと画面が映らないのがめんどい。

これはSwitch → キャプボ → テレビという接続になっているのが悪いのであって、テレビがキャプボにHDMIをパススルーできる能力を持っていればいいのではないか。サウンドバーの接続でAudio Return Channelが使えるように、Video Return Channelが必要とされているんだよ。ARCではよく遅延が問題になるようだけど、画面表示さえリアルタイムならキャプチャはちょっとくらい遅延しても困らないわけで、普通にありだと思うんだよな