ただ「ふわっとした聞き取りでの曖昧な取り次ぎは困る」というのはそんなに思わない。
電話っていう多少なりともノイズや途切れがある回線を通して、自分の所属や名前という基本的な情報を適当に発音する人はなぜかかなり多いのと、それとはまた別で一般的に「明瞭」とされる日本語の発話ができる人ばかりじゃないのとで、双方がやれるだけのことをやっても（もしくは発話側がさぼったりして）聞き取れんもんは聞き取れん
「聞き取れた範囲でのこと」を取り次ぎすれば大抵の場合そんなに困ることはない
というプレッシャーの軽減により、より落ち着いて聞き取りできると思う