@deluxe_tokyo 一言でWifiと言っても環境は千差万別で取るべき対応もそれぞれ異なってくるため難しいのですが、基本的にドラクエウォークのようなゲームとはそもそも相性が良くないんじゃないかな、と思います。
通信費について言えば、ゲームが遊べる状態であればそれ以降大きな通信量のやり取りはないはずなのであまり気にしなくても良さそうに感じます。（もちろん契約されているキャリアのプランに依ります）
大抵のスマホは各アプリがどれだけ通信しているのか計測しているので（わからない機種もあるかもしれません！）可能であれば実際の通信量とプランの容量とで相談しながらプレイされるのがいいと思います。